Pengertian
Pasangan terurutContoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:
Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A kehanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:
Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:Domain = Df = {1, 2, 3, 4}
Range = Rf = {2, 4}
Menentukan Daerah Asal Fungsi
Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.1. Fungsi di dalam akar
Daerah asal untuk fungsi
adalah:
x2 + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)
Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}
Aljabar Fungsi
Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g)(x) = f(x) × g(x)
Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)
Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0
Komposisi fungsi
Notasi:f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:
Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Contoh 1:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x2 – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))
= f(2(x2 – 1) + 5)
= f(2x2 – 2 + 5)
= f(2x2 + 3)
= 3(2x2 + 3) + 2
= 6x2 + 9 + 2 = 6x2 + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)
= 6(x2 – 1) + 17
= 6x2 – 6 + 17
= 6x2 + 11
Contoh 2:
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5
Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2
Contoh 4:
f(x) = x2 + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x2 – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4x2 – 8x + 8
(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 4
(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4x2 – 8x + 8
a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4x2 – 8x + 8
a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4x2 – 8x + 8
Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:
a2 = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2 → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
http://matematikablogscience.blogspot.com/2012/03/limit-fungsi.html
